Mathematik für die ersten Semester by Wolfgang Mückenheim

By Wolfgang Mückenheim

Dieses Buch enthält die so genannte höhere Mathematik, additionally die über das einfache Rechnen hinausgehende Mathematik, deren Lehre gewöhnlich in den letzten Schuljahren begonnen und in den ersten Studiensemestern erweitert und vertieft wird. Nach einer Einführung in die mathematische Sprache werden Arithmetik, Algebra, Geometrie und Infinitesimalrechnung behandelt. Mit wenigen Ausnahmen wird das strenge Euklidische Schema von Definition, Satz und Beweis nicht eingehalten; der Stoff wird in berichtendem Stil vermittelt - mit vielen anschaulichen Beispielen und Übungsaufgaben und solchen Beweisen, die kurz und übersichtlich genug sind, um das Verständnis zu fördern. Für die meisten technischen Studienfächer ist der Umfang völlig ausreichend, und für Studierende der Mathematik, Informatik oder Physik bildet er ein solides Fundament. Komplettiert wird das Buch durch zahlreiche Übungsaufgaben.

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Ist keine Gruppe (denn es fehlt für |z| œ 1 das Inverse z–1). ({ r ± ¸ | r – 0 }, +) ist keine Gruppe (denn es fehlt für r > 0 das Inverse -r). (¸, +) ist eine abelsche Gruppe. (¸, º) ist keine Gruppe (denn es fehlt das Inverse zu 0). ({ r ± ¸ | r > 0 }, º) ist eine abelsche Gruppe. Es sei ¸3 die Menge aller dreikomponentigen Vektoren und + die Vektoraddition (s. S. 55ff). Dann ist (¸3, +) eine abelsche Gruppe. Es sei M die Menge aller umkehrbaren nln-Matrizen und Ë die Matrixmultiplikation (s.

Alle Untermengen von M, die leere Menge und M selbst eingeschlossen, sind die Elemente von 7(M). Die Ordnungsrelation R14 = { (A, B) | A, B ± 7({ 1, 2 }) š A ° B } ist nicht linear, denn es gilt weder { 1 } ° { 2 } noch { 2 } ° { 1 }. Zur Darstellung von endlichen Ordnungsrelationen: Im Beispiel zeichne man die Obermenge B oberhalb von A und verbinde beide, falls keine Menge C  A, C  B existiert, so dass A ° C und C ° B. 18 I Grundlagen { 1, 2 } 4 {1} {2} 3 2 {} 1 Abb. 1 Graphen der Ordnungsrelationen R14 (links, nicht linear) und R12 (rechts, linear).

1). a Abb. 4: b a) Abbildung, b) keine Abbildung. Eine Abbildung f von X nach Y heißt surjektiv (oder Abbildung auf Y ), wenn jedes y ± Y ein Bild ist, injektiv (oder eindeutig), wenn aus f (x1) = f (x2) folgt x1 = x2, bijektiv (oder eineindeutig), wenn f injektiv und surjektiv ist. Es folgen einige Beispiele, aus denen hervorgeht, dass die Kenntnis von Definitionsbereich X und Bildbereich Y entscheidend für die Beurteilung der Abbildungseigenschaften ist. Sei X = Y = ¸: f (x) = 3 ist nicht surjektiv und nicht injektiv.

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