Lineare Algebra by Reiner Staszewski

By Reiner Staszewski

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Dann gilt (AB)t = B t At . In Worten: Transponieren kehrt die Reihenfolge der Faktoren eines Produkts um. 4. Die Matrizen der Form a −b b a mit a, b ∈ R bilden einen Körper bzgl. Matrizenaddition und -multiplikation. Dieser Körper kann mit dem Körper der komplexen Zahlen identifiziert werden. 3 Maple  1 1  1 1. 3. 3). 2. Man erzeuge zwei zufällige 10 × 10-Matrizen über Z und berechne ihr Produkt. Ferner teste man, ob sie über Q invertierbar sind; falls ja, berechne man die Inversen. 3. Wie viele 4×4-Matrizen gibt es über F2 ?

Dann ist die rechts stehende Matrix (bi j ) gleich A−1 . 4 Seien A, B invertierbare n × n-Matrizen. Dann sind auch A · B und A−1 invertierbar. Es gilt (A−1 )−1 = A und (AB)−1 = B −1 A−1 . Beweis: Es gilt offenbar (AB)(B −1 A−1 ) = E n = (B −1 A−1 )(AB). Somit ist die Matrix A · B invertierbar und ihre Inverse ist B −1 A−1 . Die Behauptung über A−1 folgt daraus, dass Bedingung (I N V 4) symmetrisch in A und B ist. 5 Geometrische Interpretation Alle Sachverhalte der Linearen Algebra lassen eine geometrische Deutung zu.

Vn eine Basis von V . Jedes vi ist eine Linearkombination endlich vieler w j . Nimmt man alle dieser endlich vielen w j zusammen, so enthält der davon erzeugte Unterraum W alle vi , also W = V . Somit bilden diese endlich vielen w j ein Erzeugendensystem von V . (b) Nach Teil (a) und dem Lemma ist jede Basis von V endlich. Seien v1 , . . , vn und w1 , . . , wm Basen von V . Nach dem Lemma gilt m ≤ n und n ≤ m, also m = n. (c) Sei v1 , . . , vn eine Basis von V . Nach dem Lemma ist jede linear unabhängige Familie in V endlich und hat ≤ n Elemente.

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