Fondements de la geometrie algebrique moderne by Jean Dieudonne

By Jean Dieudonne

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Soit e la dimension de Y . Soient y un point de Y , soit V un voisinage affine de y dans Y et f1 , . . , fe des fonctions r´eguli`eres sur V telles que y soit isol´e dans V (f1 , . . , fe ). Toute composante irr´eductible de u−1 (y) est une composante irr´eductible de V (u∗ f1 , . . , u∗ fe ), donc est de dimension ≥ dim X − e (th. 8). Cela montre δ(x) ≥ dim X − dim Y pour tout x dans X. Nous allons maintenant montrer qu’il existe un ouvert dense de X sur lequel on a ´egalit´e. Si u est la restriction de u `a un ouvert dense de X, les fonctions δ et δ correspondantes co¨ıncident sur cet ouvert.

Soient X et Y des vari´et´es et u : X → Y une application The r´eguli`ere. On suppose que X est projective et que toutes les fibres de u sont finies. Tout point de Y a un voisinage affine V tel que U = u−1 (V ) est encore affine et que le morphisme u∗ : A(V ) → A(U ) fasse de A(U ) un A(V )-module de type fini. Une application u : X → Y qui v´erifie les propri´et´es de la conclusion du th´eor`eme est dite finie. Si X est projective, le th´eor`eme dit donc qu’une application r´eguli`ere X → Y ` a fibres finies est finie, mais la r´eciproque est fausse en g´en´eral : les fibres de l’application r´eguli`ere u : A1 {0} → A1 sont bien finies, mais u∗ : k[T ] → k[T, T −1 ] ne fait pas de k[T, T −1 ] un k[T ]-module de type fini !

On a alors X ⊂ X(δ0 + 1), donc X ⊂ F , ce qui montre que le minimum de la fonction δ associ´ee ` a l’application r´eguli`ere u|U : U → u(U ) = u(F ) est ≥ δ0 + 1. On en d´eduit dim u(F ) ≤ dim U − δ0 − 1 ≤ dim Y − 2 par le th´eor`eme. 21. Soient G un groupe alg´ebrique (c’est-`a-dire que G est une vari´et´e alg´ebrique munie d’une structure de groupe telle que la multiplication G × G → G et l’inverse G → G soient des applications r´eguli`eres) irr´eductible et X un espace homog`ene alg´ebrique, c’est-`a-dire une vari´et´e alg´ebrique munie d’une op´eration transitive G×X → X qui est une application r´eguli`ere.

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