Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

By Christoph Schweigert

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Polynomial root-finding and polynomiography

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Evolution: A Beginner's Guide (Beginner's Guides (Oneworld))

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Mathématiques 1re S et E

Desk des matières :

Chapitre 1. L’outil vectoriel et analytique
    I. Introduction
    II. Le plan vectoriel (rappels)
    III. Les liaisons « plan ponctuel-plan vectoriel »
    IV. L’outil analytique
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre 2. L’outil des transformations
    I. Introduction
    II. adjustments usuelles
    III. motion sur les configurations élémentaires
    IV. alterations associant une determine donnée à une determine donnée
    V. Composition de transformations
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre three. Les angles
    I. Introduction
    II. perspective d’un couple de vecteurs
    III. L’addition des angles
    IV. Propriétés géométriques
    V. Angles et cercles
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre four. Le produit scalaire
    I. Introduction
    II. Produit scalaire de deux vecteurs (rappel)
    III. Produit scalaire en géométrie analytique
    IV. Orthogonalité et cocyclicité
    V. Produit scalaire et lignes de niveau
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre five. Trigonométrie et family members métriques dans le triangle
    I. Introduction
    II. Cosinus et sinus (rappels)
    III. Cosinus et produit scalaire ; sinus et déterminant
    IV. Trigonométrie
    V. relatives métriques dans le triangle
    VI. Compléments
    Trigonométrie (formulaire récapitulatif)
    Exercices

Chapitre 6. Rotations et isométries fixant un aspect donné
    I. creation (quart de tour)
    II. Rotation de centre O et d’angle α
    III. Rotation : théorèmes de composition et propriétés géométriques
    IV. Isométries fixant un aspect donné
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre 7. Le calcul vectoriel dans l’espace
    I. Introduction
    II. L’espace vectoriel E
    III. Droites et plans : repères et vecteurs directeurs
    IV. Éléments de géométrie analytique dans l’espace
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre eight. Le produit scalaire dans l’espace
    I. Introduction
    II. Produit scalaire dans E
    III. functions géométriques du produit scalaire
    IV. Produit scalaire et géométrie analytique
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre nine. l. a. sphère
    I. Introduction
    II. los angeles sphère : définition et premières propriétés
    III. part d’une sphère
    IV. Détermination d’une sphère
    V. Surfaces de révolution
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre 10. Statistiques
    I. Introduction
    II. Les caractéristiques de position
    III. Les caractéristiques de dispersion
    IV. Compléments
    Exercices

Additional info for Algebra [Lecture notes]

Example text

G|/|ZG (xi )|>1 |G|/|ZG (xi )| denn die Menge der Fixpunkte der Wirkung durch Konjugation ist FixG (G) = {x ∈ G|gxg −1 = x ∀g ∈ G} = Z(G) gleich dem Zentrum der Gruppe G. Eine Primzahlpotenz ist eine nat¨ urliche Zahl der Form pr mit p prim und r ∈ N. Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahlpotenz pr ist, heißt auch p-Gruppe. 3. Eine p-Gruppe G hat nicht–triviales Zentrum. Beweis. Als Untergruppe ist |Z(G)| Teiler von |G|, also eine Potenz von p. Wir m¨ ussen ausschließen, 0 dass |G| = p = 1. Andererseits folgt aus der Bahnengleichung |Z(G)| = |G| − i |G|/|ZG (xr )| ; daher ist |Z(G)| durch p teilbar, also ist |Z(G)| = p0 = 1 ausgeschlossen.

Ist H nicht nur eine p-Gruppe, sondern sogar eine p-Sylowgruppe, also H ∈ Sylp (G), so folgt sogar Gleichheit H = P τ , da die beiden Gruppen H und P τ die gleiche Ordnung haben. Hieraus folgt die Aussage des zweiten Sylowsatzes. 60 • Weil je zwei Sylowgruppen konjugiert sind, ist f¨ ur jede p–Sylowgruppe P np = |{P τ |τ ∈ G}| = [G : NG (P )] . Hieraus folgt (a ) und daraus (a). • Zum Beweis von (b’) betrachten wir wieder Doppelnebenklassen von G, diesmal nach P und NG (P ). Sei V ein Vertretersystem f¨ ur die Doppelnebenklassen, das das neutrale Element enth¨alt, e ∈ V .

Um die zweite Aussage zu zeigen, u ¨berlegen wir uns, dass alle Elemente einer Restklasse gH das gleiche Element von G als Bild haben. Ist n¨amlich g ∈ gH, also g = gh mit h ∈ H, so ist ϕ(g ) = ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(g), da h ∈ H ⊂ ker ϕ gilt. Dieses Element muss das Bild von gH unter ϕ˜ sein, ϕ(gH). ˜ Damit ist ϕ ˜ eindeutig festgelegt, und es gilt ϕ(gH) ˜ = ϕ(g). Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus: ϕ(g ˜ 1 Hg2 H) = ϕ(g ˜ 1 g2 H) = ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) = ϕ(g ˜ 1 H)ϕ(g ˜ 2 H). 6 (Isomorphiesatz).

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